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揭秘皮亚诺曲线背后的奥秘

来源:互联网 | 2019-06-10 10:41:47 | 人气:56 次    

皮亚诺曲线是一曲线序列的极限,不再是通常定义下的曲线。下文中"曲线"应解释为"曲线的极限"。只要恰当选择函数,画出一条连续的参数曲线,当参数t在0,1区间取值时,曲线将遍历单位正方形中所有的点,得到一条充满空间的曲线。皮亚诺曲线是一条连续而又不可导的曲线。

皮亚诺与皮亚诺曲线

皮亚诺与皮亚诺曲线

1890年,意大利数学家皮亚诺(PeanoG)发明能填满一个正方形的曲线,叫做皮亚诺曲线。皮亚诺对区间[0,1]上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上,正方形的这些点对于t∈[0,1],可规定两个连续函数x=f(t)和y=g(t),使得x和y取属于单位正方形的每一个值。后来,希尔伯特作出了这条曲线。

皮亚诺曲线

皮亚诺曲线

“1872年,康托在一篇文章中,用一章的篇幅专门讨论实数问题,特别是无理数问题。他为自己提出了一个目标,在不预先假定无理数存在的条件下,建立一个令人满意的无理数理论。显然,全体的有理数集合为此提供了一个基础。康托用有理数的无穷序列来定义无理数及它们之间的顺序关系。

从集合论的观点来看,由于数的序列对应的是数的集合,而不是数元素本身,即使形如只有一个元素的序列对应的也应该是一个数的集合。上面对有理数的定义显然构造了一个包含自指的集合:数a等于一个集合,这个集合中有一个元素,就是数a本身。这样的集合包含了罗素悖论。

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